Этика бесконечного - модификация правила агрегации

рейтинг: 0+x

Модификация правила агрегации

Экстенсионная программа

Среди подходов, призванных решить инфинитную проблему путём модификации агрегационного правила, первой идёт экстенсионная программа, которая вводит правила ранжирования миров, содержащих бесконечные количества ценностей. Экстенсионистская программа - это единственная мера по согласованию агрегативной этики с возможностью бесконечного мира, которая получила широкое освещение в литературе1.

Несущие этическое значение части мира называются локациями. Ими могут быть например акты получения опыта, какие-то действия, личности или отдельные живые существа, или области пространства-времени. Рассмотрим мир, который включает в себя бесконечное множество локаций, и каждой из них соответствует конечная неотрицательная величина $k$ - и другое бесконечное множество локаций, где каждой из них соответствует конечная отрицательная величина $-k$. В кардинальной арифметика сумма для такого мира не определена2. То же самое справедливо в отношении миров, которые в дополнению к этим множествам локаций также содержат локации с другими величинами - а также для многих миров, которые не содержат в себе бесконечных множеств локаций с какими-то конкретными величинами3. Канонически бесконечные миры попадают в категорию миров, для которых чистая кардинальная ценность не определена.

Чтобы увидеть, как экстенсионная программа пытается избежать паралича, давайте сначала рассмотрим простой случай из Примера 1. Он представляет два возможных мира, каждый из которых содержит одно бессмертное существо, которое каждый день наслаждается умеренным или высоким благополучием. Локации этого мира - это дни - каждый из которых имеет ценность в одну или две единицы.

(1)
\begin{array} {ccccccccc} w1: & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, \ldots\\ w2: & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, \ldots\\ \end{array}

[Пример 1]

Интуитивно ясно, что $w1$ лучше $w2$. Очевидно, большинство людей предпочтут жить в $w1$, где благосостояние на один уровень выше. Эти два мира имеют одни и те же локации, и их значения в случае $w1$ всегда выше, чем в случае $w2$. По аналогичным причинам, если мы модифицируем Пример 1 так, что локации будут обозначать не дни бессмертного существа, а целые жизни бесконечного количества индивидуумов, правдоподобно все равно будет решить, что $w1$ лучше $w2$. В этом альтернативном примере каждому человеку будет лучше в $w1$ чем в $w2$.

Вот простой принцип, который демонстрирует эту идею4:

Базовая идея: Если $w1$ и $w2$ имеют одинаковые локации, и если любое конечное множество локаций из $w1$ лучше такого же конечного множества локаций из $w2$, то $w1$ предпочтительнее $w2$.

Эта базовая идея слаба (но по крайней мере не противоречива)5. Рассмотрим пример 2, где значение одной локации второго мира избирательно улучшено:

(2)
\begin{array} {ccccccccc} w1: & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, \ldots\\ w3: & 1, & 3, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, \ldots\\ \end{array}

[Пример 2]

Никакой из этих миров не будет лучшим, если сравнивать их по всем конечным наборам локаций - тут Базовая Идея беспомощна. (т.е например, $w1$ предпочтительнее для синглетона в первой локации, а $w3$ - для синглетона во второй локации)

Для того, чтобы разобраться со случаями вроде того, что представлен в примере 2, Питер Валлентайн и Шелли Каган в своей изящной работе, основанной на идеях, взятых из более ранней литературы, и расширяющей их, предложили несколько способов усиления Основной Идеи. Опуская технические детали, не важные для нашего обсуждения, мы можем сформулировать один из способов следующим образом6.

ОУИ1 (основная улучшенная идея 1): если, во-первых, миры $w1$ и $w2$ имеют одинаковые локации, и во-вторых - для любого конечного множества локаций существует такое конечное надмножество локаций (т.е. расширение), что каждое такое надмножество в $w1$ лучше, чем аналогичное надмножество в $w2$ - тогда $w1$ лучше $w2$.

По этому критерию $w1$ лучше $w3$, так как любое конечное подмножество локаций в $w1$ лучше, чем в $w3$. Суть ОУИ1 в том, что она позволяет нам определить один мир лучшим чем другой - даже если в некотором конечном подмножестве своих локаций он хуже - при условии, что эта его локальная неполноценность компенсируется тем, что остальной мир в остальных своих локациях лучше.

ОУИ1 всё же ещё довольно слаба. Так, она не может дать ответа в том случае, когда каждый мир лучше другого в бесконечном множестве локаций. Эта возможность иллюстрируется в Примере 3, где снизу мы добавили счётчик дней жизни бессмертного существа:

(3)
\begin{array} {ccccccccc} w4: & 3, & 2, & 3, & 2, & 3, & 2, & 3, & 2, \ldots\\ w3: & 4, & 0, & 4, & 0, & 4, & 0, & 4, & 0, \ldots\\ \text{Время:} & 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 6, & 7, & 8, \ldots\\ \end{array}

[Пример 3]

Валлентайн и Каган предлагают такой способ развить ОУИ1, который относится к случаям, когда у локаций есть то, что они называют, "присущий им естественный порядок". Они предполагают, что пространственные и временные регионы, скорее всего, имеют такой порядок7 - впрочем, это не применимо в случае если локациями являются отдельные люди или явления природы. Предположим, что локации из Примера 3, являющиеся днями жизни бессмертного существа, имеют такой порядок. Это выглядит интуитивно правдоподобно. Интуитивно правдоподобно выглядит, что если придётся выбирать между $w4$ и $w5$, то надо выбрать $w4$. Одним из аргументов в пользу такого выбора является то, что в любой момент по прошествии третьего дня у бессмертного существа суммарное количество пережитого благополучия в $w4$ будет строго больше, чем в $w5$. Но этот аргумент не работает в схожем случае (пример 4), где оба существа существовали всегда, то есть были вечны в прошлом - а также будут вечны в будущем.

(4)
\begin{array} {cccccccccc} w6: & \ldots, & 3, & 2, & 3, & 2, & 3, & 2, & 3, & 2, \ldots\\ w7: & \ldots, & 4, & 0, & 4, & 0, & 4, & 0, & 4, & 0, \ldots\\ \text{Время:} & \ldots, & -2, & -1, & 0, & 1, & 2, & 3, & 4, & 5, \ldots\\ \end{array}

[Пример 4]

В примере 4 нет такого момента времени, начиная с которого сумма положительного опыта бессмертного существа в мире $w6$ будет превосходить таковую в $w7$. В любое время в обеих мирах оба существа уже имеют бесконечную сумму всего полученного опыта. Тем не менее, интуиция побуждает нас предпочесть $w6$ перед $w7$. Временная плотность ценности (то есть средняя ценность за единицу времени) в $w6$ равна $2,5$, а в $w7$ она составляет всего лишь $2$. Для любого конечного (непрерывного) промежутка времени, имеющего длительность как минимум в четыре дня, сумма значения для $w6$ будет строго больше, чем для $w7$. Потому предлагается следующее развитие ОУИ1, готовое иметь дело с подобными случаями, и которое в упрощённом виде может быть сформулировано следующим образом:

ОУИ2: если (1) $w1$ и $w2$ имеют одинаковый набор локаций, и (2) для каждого ограниченного региона8 есть ограниченные надрегионы, причём только такие, что в них $w1$ лучше $w2$ - то тогда $w1$ предпочтительнее $w2$.

Этот принцип определяет $w6$ лучшим, чем $w7$. ОУИ2 позволяет разобраться с довольно широким набором пар миров, содержащих бесконечные количества значений - и результат его применения интуитивно правилен. На настоящее время ОУИ2 является самым сильным правилом, которое предлагает экстенсионная программа9.

Ограничения экстенсионной программы

Касательно угрозы паралича инфинитизма, экстенсионная программа имеет по крайней мере три изъяна.

Во-первых, ОУИ2 применяется только тогда, когда значения привязаны к локациям, имеющим какой-то присущий им естественный порядок. Тем не менее во многих агрегативных этических теориях основными несущими ценность локациями являются вовсе не пространственно-временные области, а единицы опыта и удовлетворения, или люди, жизни и целые общества. И совершенно не факт, что такие несущие ценности объекты имеют какой-то естественный порядок10. Тот факт, что люди существуют в пространстве-времени вовсе не означает, что хороша та этическая теория, которая предлагает опираться на некоторый "естественный порядок", в котором расположены пространственные и временные области. Попытаться совместить фундаментальные этические ценности и пространственно-временное упорядочение людей - это очень сильное требование, которое может оказаться несовместимым с другими приложениями этической теории.

Например, стоит сказать, что классический утилитаризм отвергает (в духе, а иногда и в букве) утверждение, что любые фундаментальные этические значения привязаны к тому, где именно человек живёт. Одна из интуитивно предполагаемых основ традиционного утилитаризма связанна с тем, что мол "все и каждый считаются одинаково равными"; то есть такие характеристики, как цвет кожи, положение в обществе или место рождения не имеют фундаментального этического значения; его имеют лишь такие вещи, как удовольствие и боль, счастье или несчастье, удовлетворение или страдание. Чтобы признать пространственно-временное положение столь же важным, как всё выше перечисленное, требуется серьёзно отойти от тех интуитивных идей, которые изначально вдохновляли теорию.

Чтобы оценить сказанное выше, обратим внимание, что предпочтительность мира, определяемая по ОУИ2, не сохраняется при перестановке локаций местами. Рассмотрим пример Отеля Гильберта (пример 5), в котором бесконечно много комнат, и каждая из них содержит по одному обитателю. Каждый обитатель имеет некоторый уровень благосостояния, равный 0 или 1. Предположим, что чтобы применить вышеизложенные принципы на практике, мы за естественный порядок локаций принимаем последовательное расположение комнат по номерам.

(5)
\begin{array} {cccccccccc} w8: & 1, & 1, & 0, & 1, & 1, & 0, & 1, & 1, & 0, \ldots\\ w9: & 1, & 0, & 0, & 1, & 0, & 0, & 1, & 1, & 0, \ldots\\ \text{Время:} & 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 6, & 7, & 8, & 9, \ldots\\ \end{array}

[Пример 5]

ОУИ2 утверждает, что $w8$ лучше $w9$. Этот вывод выглядит интуитивно правильным, ибо в $w8$ на троих обитателей приходится два счастливых, в то время как в $w9$ счастливый обитатель живёт только в третьей комнате. Но существует "биекция" между множеством одинаковых значений из $w8$ в $w9$ - то есть, способ взаимно однозначного отображения как занятых, так и незанятых комнат из $w8$ в $w9$11. В общем, положение обитателей из $w8$ можно поменять так, чтобы получить в результате расположение $w9$, не добавляя новых обитателей - и так, чтобы при этом в каждой комнате было по одному человеку, и чтобы уровень благополучия каждого остался прежним. Применяя ОУИ2 к Примеру 5, мы получаем, что мир может быть улучшен или ухудшен без того, что при этом делать хуже или лучше какому-то конкретному субъекту. Это находится в прямом противоречии с теорией классического утилитаризма и другими теориями всеобщего благоденствия.

Некоторые агрегативные этические теории однако могут согласиться с этим предположением. Во-первых, сама бесконечность контринтуитивна. Так что возможно, стоит признать возможность того, что из агрегативной этики следует, что пространственно-временное перераспределение блага и зла может делать мир лучше или хуже. Теория, которая допускает это, по-прежнему будет согласовываться с огромным множеством критериев общего благосостояния. Так, она по-прежнему может быть согласна с тем, что никакой человек не имеет предпочтения в этическом статусе перед другими, и что конкретные идентичности и личности не имеют фундаментальной моральной ценности (концепция анонимности), и что величина мира будет суммой величин значений частей. Всё это будет в согласии с тем предположением, что если бесконечное множество людей просто поменяет своё место жительства, то мир изменится с этической точки зрения.

В качестве альтернативы можно отвергнуть ОУИ2, и попытаться вернуться к ОУИ1. Поскольку ОУИ1 не обращается к идее присущего самим вещам естественного порядка, его оценки остаются неизменными после перестановки локаций местами. Тем не менее, хотя это и облегчило бы некоторые напряжённости, это также лишает теорию возможности обрабатывать широкий спектр проблемных случаев - включая такие, как Примеры 3-5. В этих случаях ОУИ1 не способен разобраться с параличом.

Даже если мы позволим себе использовать более сильный принцип ОУИ2, многие пары миров останутся неупорядоченными. Это второй недостаток экстенсионного подхода. Даже самый сильный принцип оказывается слабым, чтобы упорядочить все возможные миры в порядке их предпочтительности. Валентайн и Каган предполагают путь для дальнейшего усиления ОУИ2, чтобы расширить его на случаи, когда естественный порядок локаций предполагает наличие более одного измерения, а также на некоторые (но не все) случаи, когда два разных мира не имеют общих локаций. Однако, наиболее усиленный принцип молчит о случаях, когда какая-то одиночная локация имеет бесконечное значение. Он также бессилен в случаях, вроде того, который приведён в Примере 6, где естественный порядок имеет более сложную структуру.

(6)
\begin{array} {ccccccccccc} w10: & 2, & 2, & 2, & 2, & \ldots, & \ldots, & 1, & 1, & 1, & 1\\ w11: & 1, & 1, & 1, & 1, & \ldots, & \ldots, & 1, & 2, & 1, & 1\\ \end{array}

[Пример 6]

Локации в мирах с примера 6 имеют упорядоченность вида $\omega + \omega^{*}$12. Интуитивно $w10$ лучше чем $w11$ - поскольку первый лучше второго в бесконечном множестве локаций (на единицу значения) и хуже его только в одной локации. Однако ОУИ2 молчит, ибо имеет место один ограниченный регион (содержащий ту единственную локацию из $w11$, значение которой равно $2$) - и у которого нет такого расширения, чтобы в $w10$ оно было лучше, чем в $w11$ (То же касается всех конечных надмножеств, содержащих эту локацию). Так что $w10$ не определяется как лучший, чем $w11$ - заодно и $w11$ не определяется как лучший, чем $w10$13.

Таким образом, экстенсионная программа не предоставляет общего средства для борьбы с инфинитным параличом. Впрочем, кое-что всё же можно сказать в её защиту. Кто-то мог бы выразить надежду, что будут достигнуты дальнейшие расширения программы. Если предположить, что наши интуитивные догадки относительно этической оценки миров корректны, то можно истолковать экстенсионную программу как открытый проект, который в принципе сможет кодифицировать процедуру упорядочения миров в соответствии с интуицией. Всякий раз, когда мы сталкиваемся с парой миров, к которой не применимы наши принципы, мы могли бы просто добавить свой интуитивный вывод в отношении их к нашему правилу. Даже если мы никогда не найдём явного принципа, охватывающего все возможные случаи, о которых мы имеем определённые интуитивные выводы, то и тогда этот недостаток можно будет списать на ограниченность наших когнитивных способностей, а не на фундаментальный недостаток теоретического базиса. Более того, можно утверждать, что если даже экстенсионная программа не преуспеет в разрешении всевозможных случаев, она по крайней мере обеспечит частичное средство решения проблемы, охватывая собой широкий круг вопросов, включая случаи, по которым весьма вероятно должны были бы иначе возникнуть разногласия.

Конечно, все эти замечания можно рассматривать как аргументы за - однако, следует принимать во внимание тот факт, что если даже экстенсионной программе каким-то образом удастся добиться успеха на своих собственных условиях, то всё это будет иметь результатом лишь порядковое ранжирование миров. Завершённая экстенсионная программа предоставит критерий, который для любой пары возможных миров мог сказать бы, какой мир из двух лучше или сделать вывод, что оба мира одинаковы. Но этот критерий не сможет сказать нам, насколько некоторый мир лучше другого. Это - третье ограничение программы.

Так как мы не всезнающие существа, то мы вынуждены делать свой моральный выбор в условиях неопределённости. При этом мы должны учитывать не только те последствия, которые будут иметь место для наших деяний - но и ранжировать возможные последствия по их предполагаемой ненулевой вероятности. Более конкретно, мы должны рассматривать условные вероятности различных возможных следствий некоторого отдельного деяния. Стандартная теория принятия решений учит нас, что мы должны умножить эти условные вероятности на значения, обозначающими последствия некоторого решения - а затем мы должны сделать то действие, для которого полученное таким образом математическое ожидание будет максимальным. (Далее мы обсудим возможность альтернативных правил принятия решения или области оценки). Для выполнения этой операции мы должны знать кардинальную ценность миров. Простое порядковое расположение, говорящее нам, какие миры лучше других, но не говорящее — насколько они лучше один другого - не может быть совмещено с вероятностями, и не позволит нам вычислить условное математическое ожидание.

Чтобы проиллюстрировать этот факт, рассмотрим пример 7.

(7)
\begin{array} {cccccccccccccc} w12: & 4, & 5, & 6, & 7, & 8, & 9, & 10, & 11, & 12, & 13, & 14, & 15, & \ldots\\ w13: & 1, & 2, & 7, & 4, & 5, & 10, & 7, & 8, & 13, & 10, & 11, & 16, & \ldots\\ w2: & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, \ldots\\ \end{array}

[Пример 7]

По ОУИ2, $w12$ лучше, чем $w13$; и потому, если нам предстоит сделать простой выбор между двумя мирами, мы должны будем выбрать $w12$. Но предположим, что нам предстоит выбор между двумя действиями - $A$ и $B$. Действие $A$ гарантированно будет реализовывать $w13$. Действие $B$ - приведёт к $w12$ с вероятностью $p$ и к $w2$ с вероятностью $(1-p)$. Чтобы выбрать, что именно нам следует делать, мы должны знать, для насколько больших значений $p$ выбор $B$ оказывается столь же хорош или даже лучше чем выбор $A$. Упорядочение, предоставляемое ОУИ2, не даёт такой информации.

Без способа оценки кардинальных значений миров мы не имеем ожидаемой оценки своих актов. Мы даже не имеем способа упорядочить таковые по их этичности. Ибо мы не имеем уверенности, какие результаты они будут иметь. Нам также не помогло бы, если бы мы имели кардинальную меру для такого подмножества миров, стоимость которых конечна. Тогда неразрешимые проблемы будут возникать всякий раз, когда мы будем присваивать ненулевую вероятность возможности достижения мира, кардинальное значение которого неизвестно. Чтобы получить годное к употреблению этическое руководство, нам необходимо нечто большее, чем порядковое ранжирование миров — то есть, нечто большее, чем то, что даёт экстенсионная программа.

Для пруденциального случая принятия решений индивидуумом есть классический результат фон Неймана и Моргенштерна, показывающий, что для заданного индивидуума существует возможность построить функцию кардинальной полезности на базе достаточно богатого набора порядковых предпочтений14. Этот результат является краеугольным камнем социальной теории выбора. Метод, используемый фон Нейманом и Моргенштерном, применим не только для случаев, когда у некоторых действий есть определённые результаты - но и для выбора из множества авантюр, которые могут привести к самым разным последствиям - при условии, что коэффициенты вероятности каждого исхода известны. Учитывая определённые предположения, можно из некоторых индивидуальных предпочтений вывести функцию полезности для авантюр. Для того, чтобы применить аналогичный подход для конструирования кардинальной шкалы для этической ценности всевозможных миров, мы должны предположить существование этических значений для различных авантюр (вроде той, которая представлена в примере 7). Но сделать это порядковое ранжирование, которое должно прийти нам на помощь - и есть главная проблема. В этическом случае - в отличии от индивидуальных пруденциальных случаев - мы не можем просто обратиться к предпочтениям. Не все люди будут давать одинаковые оценки этическим последствиям для той или иной авантюры. Значения оценок должны выводится из какой-нибудь аксиологической теории; и в случае агрегативной аксиологии, мы сталкиваемся с угрозой паралича.

Мы пришли к такому выводу: (1) имеющиеся в наличии принципы, предусмотренные экстенсионной программой, не помогают ранжировать все возможные миры; (2) для того, чтобы иметь хоть какую-то возможность устроить такое ранжирование (соответствующее нашей интуитивным представлениям о подобном упорядочении), этические значения элементов мира должны быть связанны к некоторым пространственно-временным распределением благ и несчастий; (3) возможность совместить широкий класс теорий агрегативного консеквенциализма с условием пространственно-временного распределения локальных значений этических ценностей вызывает большие сомнения; и наконец (4) даже если мы получим способ для полного порядкового ранжирования всех конкретных возможных миров (но не ситуаций, включающих в себя сложных моральные авантюры), мы так и не решим проблему инфинитного паралича15.

Подход плотности ценностей

Один из способов получить кардинальное измерение для значений некоторых канонически бесконечных миров - это обратиться к их "среднему значению\symbol{`\"}, средней плотности их значений. Чтобы применить эту идею, мы должны считать, что плотность благ на больших масштабах сравнительно однородна. После этого мы можем определить плотность ценностей следующим образом. Произвольно выберем некоторую пространственно-временную локацию $p$ - и рассмотрим гиперсферу с центром в $p$ и радиусом $r$ (где $r$ есть некоторый пространственно-временной интервал). Если $V^{+}$ есть (конечная) сумма положительных значений внутри этой гиперсферы, и $V^{-}$ есть (конечная) сумма отрицательных значений внутри этой гиперсферы, то тогда мы можем определить значение плотности ценности для гиперсферы по $\hat{V}(p,r) = (V^{+} - V^{-}/|r|)$, где $|r|$ есть модуль $r$. Если имеет место некоторая константа $k$, для которой для всякой точки $p$ верно правило:

(8)
\begin{align} \lim_{r\to\infty}\hat{V}(p,r) = k \end{align}

тогда мы можем считать $k$ значением плотности — то есть, величиной значения для этого мира, подходящего для целей сравнения его с другими однородными канонически бесконечными мирами аналогичного устройства. Так как плотность ценности - кардинальная величина - она может быть перемножена на значения вероятности и добавлена в стандартную теорию принятия решения (в этом случае она будет играть роль величины, обозначающей полезность).

Однако, агрегационизму всё же ближе сумма всех благ. Не все миры с одинаковыми значениями плотности одинаково хороши. Большой мир с положительной плотностью ценностей предпочтительнее маленького с такой же плотностью. Если принимать неагрегативную доктрину - например, утилитаризм среднего значения - то тогда мы не можем в целом определить значение мира по его средней плотности. Канонически бесконечные миры с положительным значением средней плотности должны быть поставлены так, чтобы лексикографически превосходить все конечные миры с конечным значением, и канонически бесконечные миры с отрицательным значением плотности должны лексикографически предшествовать всем мирам с конечной стоимостью.

Подобно ОУИ2, подход плотности значений ставит этическое значение в зависимости от распределения ценностей. Таким образом, это потребует отказаться от интуитивных идей агрегационизма. Более того, подход среднего значения плотности пасует при попытке применить его к неоднородным бесконечным мирам (вроде $w12$ и $w13$), поскольку среднее значение плотности для таких миров не определено. И этот подход оказывается неприемлемым, если в какой-то точке среднее значение может оказаться бесконечным. Как и в случае, когда мир имеет более сложный порядок локаций (вроде $w10$ и $w11$).

В заключении отметим, что подход плотности значений - в отличии от экстенсионной программы - по крайней мере может дать кардинальную оценку ценности. Тем не менее, он весьма ограничен, и требует наличия пространственно-временного упорядочения значений. Он также натыкается на проблему фанатизма - аналогично тому, как на неё натыкается расширенное правило принятия решений, которое мы обсудим далее. Тем не менее, если даже сам по себе подход средней плотности считать ошибочным, то всё же его методы стоит рассмотреть в качестве составных частей для более сложных методов; но об этом - в главе 5.

Введение в гипердействительные числа

Говард Собел заканчивал последнюю главу о Пари Паскаля, приводя на бумаге комментарий Роя Соренсона, в котором тот обсуждал проблемы для теории принятия решений, связанные с бесконечностью:

Примечательно, что он [т.е. Соренсон] не рассматривает возможность введения гипердействительных чисел, с которыми теория принятия решений может быть интерпретирована без каких-либо корректировок на то, чтобы обрабатывать очень большие или очень маленькие значения. Я исхожу из этого варианта - ибо с ним оно работает16

Мы обладаем хорошо развитой математической теорией так называемых гипердействительных чисел - чисел, которые могут быть бесконечно большими или бесконечно маленькими. Гипердействительные числа можно умножать, делить, складывать или вычитать из обычных действительных чисел (например, из вероятностей) естественным образом. Замечание Сорбеса касается применения теории принятия решений, в которых желательность основных результатов является внешними переменными. То есть, теория принятия решений относится к хорошо сформулированным задачам принятия решений, в которых функция выигрыша уже задана. Если область допустимых значений функции выигрыша распространяется на гипердействительные значения, то теорию принятия решений легко переинтерпретировать так, чтобы она могла обрабатывать эти значения. Задачи, стоящие перед агрегативной этикой, сложнее - однако для их решения требуется указать отображение от множества возможных миров на множество значений этической ценности этих миров. Перевод агрегативной этики в рамки гипердействительных чисел - незавершённый проект; возможно, он никогда не будет завершён. В следующем подразделе, однако, мы сделаем такую попытку и посмотрим, как далеко мы сможем продвинуться17.

Хотя нам не хватает места для тщательного введения в теорию гипердействительных чисел, всё же можно будет начать с общего наброска на тему некоторых из их свойств, прежде чем мы рассмотрим их применение для разрешения инфинитного парадокса18.

1) Свойство замкнутости:

Если $a$ и $b$ принадлежат $<{}^{*}R>$, то тогда $a+b$ и $a \cdot b$ принадлежат $\langle {}^{*}R \rangle$.

2) Коммутативность:

$a+b=b+a$ и $a \cdot b=b \cdot a$

3) Ассоциативность:

$(a+b)+c=a+(b+c)$ и $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$

4) Дистрибутивность:

$a \cdot (b+c)=(a \cdot b)+(a \cdot c)$

5) Существование единичного и нейтрального элементов:

Существует такие элементы $z$ и $e$ из множества чисел $\langle {}^{*}R \rangle$, что $a+z=a$ и $a+e=e$

6) Существование обратных элементов:

Для каждого $a$ существуют такие элементы $(-a)$ и $a^{-1}$, что $a+(-a) = 0$ и (для $a<>0$) $a \cdot (a^{-1})=1$

Другой пример утверждения, которое остаётся верным в рамках нестандартного анализа - это то, что если вы добавляете $1$ к гипердействительному числу, то вы обязательно получите большее значение.

7) $a<a+1$

Тем не менее, $\langle R \rangle$ и $\langle {}^{*}R \rangle$ не идентичны. Например, в $\langle {}^{*}R \rangle$ существует элемент $\omega$, который больше любой конечной суммы единиц:

8) $1<\omega$, $1+1<\omega$, $1+1+1<\omega$, $1+1+1+1<\omega$, $\ldots$

Разумеется, в поле $\langle R \rangle$ нет такого числа - $\omega$. Заметьте, что несуществование $\omega$ не может быть выражено в логике первого порядка (поскольку оно требует бесконечной конъюнкции).

Гипердействительные числа могут быть сконструированы как счётные бесконечные последовательности действительных чисел так, чтобы удовлетворять всем вышеуказанным аксиомам. Этот путь предусматривает удобный способ определения вещественного числа $r$ как последовательности $(r,r,r,\ldots)$. Сложение двух гипердействительных чисел может быть определено так - $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots) + (b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots) = (a_{0}+b_{0}, a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \ldots)$ - и аналогично умножение - $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots) \cdot (b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots) = (a_{0} \cdot b_{0}, a_{1} \cdot b_{1}, a_{2} \cdot b_{2}, \ldots)$.

Используя этот метод, приведём пример бесконечного гипердействительного числа:

$(1, 2, 3, 4, \ldots)$

а это - гипердействительный инфинитезимал, обратный предыдущему:

$(1/1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots)$

Произведение этих двух чисел равно (конечному) числу $(1, 1, 1, 1, \ldots)$. В соответствии с правилом (6), для каждого бесконечного гипердействительного числа имеется такой гипердействительный инфинитезималь, что перемножив их, мы получим $1$.

Есть много разных бесконечных и инфинитезимальных гипердействительных чисел. Например, два нижеследующих гипердействительных числа, соответственно, строго меньше и строго больше выше представленной пары:

$(3, 4, 5, \ldots)$
$(1/10, 1/12, 1/14, \ldots)$

Для сравнения величин этих двух гипердействительных чисел мы проведём попарное сравнение их элементов. Мы будем говорить, что одно гипердействительное число больше другого, если оно превосходит его в "почти всех" элементах. И хорошо бы, чтобы результат такого упорядочения был полным - то есть таким, что для любой пары гипердействительных величин $a$ и $b$ можно было бы сказать, что либо $a>b$, либо $b>a$, либо $a=b$. Требование в "почти всех" необходимо для выполнения этой работы - однако, технически это довольно сложно и требует введения так называемой неглавного (или "свободного") ультрафильтра. Независимо от выбора ультрафильтра, мы имеем следующее - если $a$ больше $b$ всюду, кроме конечного числа мест, то тогда $a>b$. Аналогично, если $a$ и $b$ идентичны по всем позициям, не считая конечного подмножества, тогда $a=b$. Но для некоторых вариантов пар $a$ и $b$, $a$ может быть больше $b$ в бесконечном множестве позиций, и $b$ может быть больше (или равно) $a$ в бесконечном множестве позиций. Например, это имеет место для следующей пары:

$a = (1,0,1,0, \ldots)$
$b = (0,1,0,1, \ldots)$

Задачей неглавного ультрафильтра (в чьё техническое определение мы здесь вдаваться не будем) - это выносить решение в таких случаях, чтобы получить полное упорядочение всех гипердействительных чисел.

Этого краткого обзора должно быть достаточно, чтобы передать основную идею гипердействительных чисел. Их основное применение в математике заключается в том, чтобы обеспечить альтернативное ("нестандартное") основание для анализа. Они разработаны Абрахамом Робинсоном в 1960е, и ближе к оригинальным идеям Ньютона и Лейбница, чем к современным определениям предела через конструкцию "эпсилон-дельта" - которая обыкновенно ныне преподносится на курсах математического анализа. Некоторые люди видят альтернативный подход более интуитивно правильным, и некоторые теоремы легче доказывать в рамках нестандартного подхода. Но вернёмся к вопросам этой статьи. Давайте рассмотрим, как введение гипердействительных чисел поможет решить непоколебимую проблему бесконечности.

Подход с использованием гипердействительных чисел

Для начала, нам нужен способ составить карту мира, содержащую некоторое распределение локальных значений, выраженных гипердействительными числами и представляющими общие ценности мира. Самым простым способом сделать это - это расположить действительные числа в последовательность, представляющую собой некоторое гипердействительное число. Чтобы проиллюстрировать это, обратимся повторно к предыдущему примеру:

(9)
\begin{array} {ccccccccc} w1: & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, \ldots\\ w2: & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, \ldots \end{array}

[Пример 1]

В простейшем примере нам предстоит рассмотреть два мира, которым соответствуют гипердействительные числа, у которых каждый элемент имеет одно и то же значение. То есть, это два гипердействительных числа $(2, 2, 2, \ldots)$ и $(1, 1, 1, \ldots)$. Поскольку $(2, 2, 2, \ldots) > (1, 1, 1, \ldots)$ мы заключаем, что $w1$ предпочтительнее, чем $w2$. Пока всё идёт нормально.

К сожалению, подобный подход быстро сталкивается с тем фактом, что гипредействительные числа, чьи последовательности отличаются только в конечном множестве мест, имеют одинаковую величину. Это выглядит не совсем естественно - например, гипердействительное число, соответствующее следующей последовательности:

(10)
\begin{array} {ccccccccc} w1: & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, \ldots\\ w3: & 1, & 3, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, \ldots \end{array}

[Пример 2]

Здесь $w3$ имеет ту же величину, что и соответствующее $w2$. По факту, $(1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots)$ и $(1, 3, 1, 1, 1, 1, \ldots)$ есть всего лишь разные записи одного и того же гипердействительного числа - вроде того, как $1/3$ и $9/27$ есть лишь разные записи одного и того же действительного числа. Если мы можем поменять значения мира максимум лишь в конечном множестве локаций, то в согласии с этим подходом мы вообще не можем поменять суммарную ценность мира. Этическая величина канонически бесконечного мира становится неизменной.

Чтобы от нестандартного анализа был какой-то прок, нам необходимо найти другой способ оценки величины мира. Подающий надежды подход заключается в том, чтобы модифицировать идею представления каждого гипердействительного числа. Так, последовательность, соответствующую гипердействительному числу, можно строить так: каждый член этой последовательности должен быть суммой ценности значения текущей локации и значений всех предыдущих локаций19. Так, если локальные значения в мире имеют естественный одномерный порядок, бесконечно продлеваемый в одну сторону - $(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, \ldots)$ - то тогда соответствующее гипердействительное число будет равно $(v_{1}, v_{2}+v_{1}, v_{3}+v_{2}+v_{1}, v_{4}+v_{3}+v_{2}+v_{1}, \ldots)$.

Проиллюстрируем это на примере значений миров $w1$, $w2$ и $w3$ - соответствующие величины будут равны:

(11)
\begin{array} {ccccccccccccccc} {\scriptstyle\text{Величина}(w1)} & = & (2, & 2+2, & 2+2+2, & 2+2+2+2, & \ldots) & = & (2, & 4, & 6, & 8, & \ldots) & = & \omega*2\\ {\scriptstyle\text{Величина}(w2)} & = & (1, & 1+1, & 1+1+1, & 1+1+1+1, & \ldots) & = & (1, & 2, & 3, & 4, & \ldots) & = & \omega\\ {\scriptstyle\text{Величина}(w3)} & = & (1, & 1+3, & 1+3+1, & 1+3+1+1, & \ldots) & = & (1, & 4, & 5, & 6, & \ldots) & = & \omega+2\\ \end{array}

Если мы рассмотрим мир, подобный $w3$ - но отличный тем, что его улучшенная единственная локация сдвинута на шаг вправо:

$w3^{*}: 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots$

Мы обнаружим, что его величина равна величине $w3$:

$\text{Величина}(w3^{*}) = (1, 1+1, 1+1+3, 1+1+3+1, \ldots) = (1, 2, 5, 6, \ldots) = \omega +2$

Этот подход также может обработать мир, в котором локальные величины неограниченно растут, например такой:

$w14: 1, 3, 5, 7, 9, \ldots$

которому соответствует следующее гипердействительное число: $(1, 4, 9, 16, 25, ...) = \omega^{2}$.

После присваивания гипердействительных значений мирам мы можем легко решить некоторые этические проблемы, связанные с выбором. Простой пример - пусть нам предстоит выбор между действием $A$, которое однозначно приводит к воплощению $w3$ и действием $B$, которое приводит к миру $w2$ с вероятностью $p$, а с вероятностью $(1-p)$ приводит к реализации следующего мира:

$w15: 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots$

Поскольку $w15$ соответствует гипердействительное число $\omega+3$, то ожидаемые значения для тех двух действий, из которых нужно выбирать, таковы:

$EV(A) = \omega + 2$

$EV(B) = (\omega \cdot p) + (\omega + 3)(1-p)$

Отсюда следует, что $B$ лучше $A$ тогда и только тогда, когда $p$ меньше чем $1/3$.

На основании представления гипердействительных чисел как последовательностей конечных сумм локальных значений мы можем сделать некоторые другие вещи. Так, мы можем расширить его на некоторые случаи, когда локации не имеют естественного порядка подобного порядку натуральных чисел. Чтобы расширить его на миры, где прошлое так же бесконечно, как и будущее (например, $w6$ и $w7$), а также на многомерные миры, мы можем использовать следующую процедуру. Во-первых, берём гиперсферу конечного объёма $v$, центр которой расположен в том месте, где находится принимающий решение агент. И пусть сумма значений локаций внутри этой гиперсферы определяет значение первого элемента последовательности, соответствующей гипердействительному числу. Затем увеличиваем объём сферы до $2 \cdot v$, и тогда сумма значений в этой более широкой гиперсфере будет определять величину второго элемента последовательности соответствующего гипердействительного числа; и так далее - так что сумма значений локаций внутри гиперсферы радиусом $n \cdot v$ будет равна величине $n$-го элемента последовательности гипердействительного числа (если это расширение где-то натыкается на границы пространственно-временного многообразия, то дальше мы можем просто продолжить расширять гиперсферу по тем направлениям, которые остаются открытыми).

Цена и ограничения использования гипердействительных чисел

Некоторые случаи невозможно охватить даже в тех случаях, когда использование гипердействительных чисел дополняется использованием метода расширяющихся конечных объёмов (см. предыдущий абзац). Это включает в себя и случаи, когда отдельные локации имеют бесконечные величины (например, кардинальности $\aleph_{0}$ или ещё большей). Или миры с порядком типа $w16$:

$w16: 7, 7, 7, 7, 7, 7, \ldots, \ldots, 7, 7, 7, 7, 7, 7, \ldots$

С подобными мирами можно разобраться, присваивая каждому значение, равное суммам значений двух его частей (в данном случае - это $/omega \cdot 7 + /omega \cdot 7 = /omega \cdot 14$), но если мы рассматриваем мир вроде $w17$ с точки зрения принимающего решения агента, расположенного в первом сегменте - т.е. того, в котором единицы -

$w17: 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots, \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$

то тогда мы столкнёмся с проблемой, потому что неизвестно, с какого места во втором сегменте запускать процедуру расширения конечных объёмов. Без подобной предпочтительной локации значение сегмента остаётся неопределённым20. Чтобы наглядно показать это, предположим, что мы начинаем процедуру расширения из локации, значение которой равно $-1$. Тогда для второго сегмента мы получаем следующее гипердействительное число21:

$(-1, -3, -5, -7, \ldots) = (-\omega \cdot 2)+1$

но если вместо этого мы стартуем из локации, значение которой равно $+1$, то мы получим бесконечно большее гипердействительное число:

$(1, 3, 5, 7, \ldots) = (\omega \cdot 2) - 1$

Таким образом, в подходе с использованием гипердействительных чисел есть определённые пробелы - хотя и меньшие, чем в подходе среднего значения плотности2223.

Ещё один проблемный аспект использования гипердействительных числе связан с использованием гипердействительного ультрафильтра. В нестандартном анализе выбор ультрафильтра производится произвольно. Для целей чистой математики подобная произвольность не вызывает никаких проблем. Однако, в области оснований аксиологии иметь подобный произвол нежелательно. В зависимости от выбора ультрафильтра два мира могут быть определены как одинаково хорошие, равно как и первый может быть определён лучшим, чем второй - или наоборот, второй может быть определён лучшим, чем первый. Это проиллюстрировано на примере 8.

(12)
\begin{array} {cccccccccccccc} w18: & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, \ldots\\ w19: & 1, & -2, & 1, & 1, & -2, & 1, & 1, & -2, & 1, & 1, & -2, & 1, & 1, \ldots\\ \end{array}

[Пример 8]

Этим двум мирам соответствуют следующие гипердействительные величины:

(13)
\begin{array} {ccccccccccccccc} \text{Величина}(w18) & = & (0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, \ldots\\ \text{Величина}(w19) & = & (1, & -1, & 0, & 1, & -1, & 0, & 1, & -1, & 0, & 1, & -1, & 0, \ldots\\ \end{array}

[Пример 8]

Значения локаций из $w18$ равны $w19$ в бесконечном множестве локаций, а также больше в бесконечном множестве локаций, и меньше в бесконечном множестве локаций. В зависимости от выбора ультрафильтра мы можем получить как $\text{Величина}(w18) = \text{Величина}(w19)$ или $\text{Величина}(w18) > \text{Величина}(w19)$ или $\text{Величина}(w18) < \text{Величина}(w19)$.

Сторонники подхода с использованием гипердействительных чисел могут утверждать, что эта неопределённость на самом деле есть скрытое достоинство - ибо она совпадает с аналогичной неопределённостью нашей интуиции в отношении того, что лучше - $w18$ или $w19$ (Но подобное заключение будет противоречить подходу, опирающемуся на значение средней плотности, который оценивает $w18$ и $w19$ как строго одинаково хорошие). В качестве альтернативы сторонник гипердействительных чисел может заявить, что следуя каким-то дополнительным соображениям, однозначности можно устранить и выбрать определённый ультрафильтр. Но следует помнить, что даже когда определённый ультрафильтр будет выбран, можно будет изменить значение, соответствующее миру, выполнив перестановку его значений в бесконечном подмножестве локаций. Например, предположим, что ультрафильтр определён так, что его решения полностью согласуются с решениями, принимаемыми по методу значения средней плотности (для тех случаев, когда последний выносит конкретные решения). Следуя такому ультрафильтру, мы получим что $w18$ и $w19$ соответствуют одинаковые гипердействительные числа. Но если значения $w19$ переставить так, что будет получено другое значение средней плотности значений, то тогда получившемуся в результате миру будет соответствовать другое гипердействительное число - что сделает его лучше или хуже, чем $w18$. Подобно ОУИ2 и подходу средней плотности значений, подход с использованием гипердействительных чисел - как только мы останавливаемся на определённом ультрафильтре - влечёт за собой все те этические проблемы, которые связанны с требованием наличия пространственного-временного упорядочения ценностей.

Среди средств от паралича бесконечности, сводящихся к модификации агрегативного правила, подход, связанный с использованием гипердействительных чисел является самым мощным на настоящий день. Теперь же мы обратимся к классу средств защиты от паралича, которые сосредоточены на модификации правила домена.




Пока не указано иное, содержимое этой страницы распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License